解：（1）由题意可知
O₁（m，m），O₂（n，n），
设过点O₁，O₂的直线解析式为y=kx+b，
则有：（0＜m＜n），解得，
∴所求直线的解析式为：y=x；
（2）由相交两圆的性质，
可知P、Q点关于O₁O₂对称．
∵P（4，1），直线O₁O₂解析式为y=x，
∴Q（1，4）．
如解答图1，连接O₁Q．
∵Q（1，4），O₁（m，m），根据两点间距离公式得到：
O₁Q==
又O₁Q为小圆半径，即QO₁=m，
∴=m，
化简得：m²﹣10m+17=0 ①
如解答图1，连接O₂Q，
同理可得：n²﹣10n+17=0 ②
由①，②式可知，m、n是一元二次方程
x²﹣10x+17=0 ③的两个根，
解③得：x=5±，
∵0＜m＜n，
∴m=5﹣，n=5+．
∵O₁（m，m），O₂（n，n），
∴d=O₁O₂==8；
（3）假设存在这样的抛物线，
其解析式为y=ax²+bx+c，
因为开口向下，所以a＜0．
如解答图2，连接PQ．
由相交两圆性质可知，PQ⊥O₁O₂．
∵P（4，1），Q（1，4），

∴PQ==，
又O₁O₂=8，
∴S₁=PQO₁O₂=××8=；
又S₂=（O²R+O₁M）·MR=（n+m）（n﹣m）=；
∴==1，
即抛物线在x轴上截得的线段长为1．
∵抛物线过点P（4，1），Q（1，4），
∴，解得，
∴抛物线解析式为：y=ax²﹣（5a+1）x+5+4a，令y=0，则有：ax²﹣（5a+1）x+5+4a=0，
设两根为x₁，x₂，
则有：x₁+x₂=，x₁x₂=，
∵在x轴上截得的线段长为1，即|x1﹣x2|=1，
∴（x₁﹣x₂）²=1，
∴（x₁+x₂）²﹣4x₁x₂=1，
即（）²﹣4（）=1，
化简得：8a²﹣10a+1=0，
解得a=，可见a的两个根均大于0，这与抛物线开口向下（即a＜0）矛盾，
∴不存在这样的抛物线．