已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点．(Ⅰ)求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；(Ⅱ)求二面角M-BC′-B′的大小；(Ⅲ)求三棱锥M-OBC的体积．-数学试题及答案

1、试题题目：已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA′的中点，点O是对角..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-01 07:30:00

试题原文

已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点．
(Ⅰ)求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；
(Ⅱ)求二面角M-BC′-B′的大小；
(Ⅲ)求三棱锥M-OBC的体积．

试题来源：四川省高考真题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：空间中直线与直线的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

(Ⅰ)证明：连结AC，取AC的中点K，则K为BD的中点，连结OK，
因为点M是棱AA′的中点，点D是BD′的中点，
所以

，所以

，
由AA′⊥AK，得MO⊥AA′，
因为AK⊥BD，AK⊥BB′，
所以AK⊥平面BDD′B′，
所以AK⊥BD′，所以MO⊥BD′，
又因为OM与异面直线AA′和BD′都相交，
故OM为异面直线AA′和BD′的公垂线．
(Ⅱ)解：取BB′的中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC′B′，
过点N作NH⊥BC′于H，连结MH，则由三垂线定理得，BC′⊥MH，
从而，∠MHN为二面角M-BC′-B′的平面角，

，
在Rt△MNH中，

，
故二面角M-BC′-B′的大小为

。
(Ⅲ)解：易知，S_△OBC=S_△OA′D′，且△OBC和△OA′D′都在平面BCD′A′内，
点O到平面MA′D′的距离

，

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA′的中点，点O是对角..”的主要目的是检查您对于考点“高中空间中直线与直线的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中空间中直线与直线的位置关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：