已知集合A={a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分别求l（P）和l（Q）；（Ⅱ）对-数学试题及答案

1、试题题目：已知集合A={a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-28 07:30:00

试题原文

已知集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，其中a_i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
（Ⅰ）设集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分别求l（P）和l（Q）；
（Ⅱ）对于集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，猜测a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值最多有多少个；
（Ⅲ）若集合A={2，4，8，…，2ⁿ}，试求l（A）．

试题来源：怀柔区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：排列与组合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）因为集合P={2，4，6，8}，
所以2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，
所以可得：l（P）=5．
因为集合Q={2，4，8，16}，
所以2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，
所以可得：l（Q）=6．
（Ⅱ）对于集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值最多有

n(n-1)

2

个．
因为在集合A的n个元素中任取一个元素，共有n种，再从余下的n-1个元素中任取一个元素，
共有n-1种．把取出的元素两两作和共有n（n-1）个，
因为a_j+a_i=a_i+a_j等情况，
所以对于集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值最多有

n(n-1)

2

个．
（Ⅲ）因为集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}最多有

n(n-1)

2

个a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值，
所以l(A)≤

n(n-1)

2

．
又集合A={2，4，8，…，2ⁿ}，任取a_i+a_j，a_k+a_l（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），
当j≠l时，不妨设j＜l，则a_i+a_j＜2a_j=2^j+1≤a_l＜a_k+a_l，即a_i+a_j≠a_k+a_l．
当j=l，i≠k时，a_i+a_j≠a_k+a_l．
因此，当且仅当i=k，j=l时，a_i+a_j=a_k+a_l．
即所有a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值两两不同，
所以l(A)=

n(n-1)

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知集合A={a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2..”的主要目的是检查您对于考点“高中排列与组合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中排列与组合”。

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