甲、乙、丙三人参加浙江卫视的“我爱记歌词”节目，三人独立闯关，互不影响．其中甲过关而乙不过关的概率是14，乙过关而丙不过关的概率是112，甲、丙均过关的概率为29．记ξ为节目-数学试题及答案

1、试题题目：甲、乙、丙三人参加浙江卫视的“我爱记歌词”节目，三人独立闯关，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-14 07:30:00

试题原文

甲、乙、丙三人参加浙江卫视的“我爱记歌词”节目，三人独立闯关，互不影响．其中甲过关而乙不过关的概率是

1

4

，乙过关而丙不过关的概率是

1

12

，甲、丙均过关的概率为

2

9

．记ξ为节目完毕后过关人数和未过关人数之差的绝对值．
（1）求甲、乙、丙三人各自过关的概率；
（2）理科：求ξ的分布列和数学期望；
文科：求ξ取最小值时的概率；
（3）理科：设“函数f(x)=log2[ξx2-(ξ-1)x+

1

4

]的值域是R”为事件D，试求事件D的概率．
文科：设“不等式x²-ξx+1＜0对一切x∈[1，2]均成立”为事件D，试求事件D的概率．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设甲、乙、丙三人各自过关分别为事件A、B、C
由题设条件有

P(A?

B

)=

1

4

P(B?

C

)=

1

12

P(A?C)=

2

9

即

P(A)?(1-P(B))=

1

4

①

P(B)?(1-P(C))=

1

12

②

P(A)?P(C)=

2

9

. ③

由①、③得P(B)=1-

9

8

P(C)代入②得 27[P（C）]²-51P（C）+22=0．
解得P(C)=

2

3

或

11

9

（舍去）．
将P(C)=

2

3

，分别代入 ③、②可得P(A)=

1

3

，P(B)=

1

4

．
即甲、乙、丙三人各自过关的概率分别是

1

3

，

1

4

，

2

3

．…（6分）
（2）【理科】三人过关的人数可能取值为0，1，2，3．相应地，三人未过关的人数可能取
值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3．…（7分）
P（ξ=3）=P（A?B?C）+P（

.

A

?

.

B

?

.

C

）=P（A）P（B）P（C）+P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

)=

2

9

ξ

1

3

P

7

9

2

9

P（ξ=1）=1-

2

9

=

7

9

…（8分）
所以ξ的分布列为：
Eξ=1×

7

9

+3×

2

9

=

13

9

（人）…（10分）
【文科】三人过关的人数可能取值为0，1，2，3．相应地，三人未过关的人数可能取
值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3．
因为P（ξ=3）=P（A?B?C）+P（

.

A

?

.

B

?

.

C

），
=P（A）P（B）P（C）+P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

)）=

2

9

，
所以ξ取最小值1时，P（ξ=1）=1-

2

9

=

7

9

．…（10分）
（3）【理科】欲使函数f(x)=log2[ξx2-(ξ-1)x+

1

4

]的值域是R，且ξ≠0，
只需ξ＞0且△=(ξ-1)2-4×ξ×

1

4

=ξ2-3ξ+1≥0即可．
解得ξ≤

3-

5

2

（舍）或ξ≥

3+

5

2

，那么P(D)=P(ξ≥

3+

5

2

)=P(ξ=3)=

2

9

，
所以事件D的概率为

2

9

．（也可以直接将ξ分别取1，3时代入△≥0即可）．…（14分）
【文科】由不等式x²-ξx+1＜0（x∈[1，2]），可得ξ＞x+

1

x

，
设g(x)=x+

1

x

，x∈[1，2]，g（x）在x∈[1，2]上单调递增，
由题意，只需ξ＞g（x）_max=g（2）=2.5即可．
所以P(D)=P(ξ＞2.5)=P(ξ=3)=

2

9

．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“甲、乙、丙三人参加浙江卫视的“我爱记歌词”节目，三人独立闯关，..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的解析式及定义（定义域、值域）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的解析式及定义（定义域、值域）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：