设动点M的坐标为（x，y）（x、y∈R），向量a=（x-2，y），b=（x+2，y），且|a|+|b|=8，（I）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点N（0，2）作直线l与曲线C交于A、B两点，若OP=OA+OB（O为坐-数学试题及答案

1、试题题目：设动点M的坐标为（x，y）（x、y∈R），向量a=（x-2，y），b=（x+2，y），且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-01 07:30:00

试题原文

设动点M的坐标为（x，y）（x、y∈R），向量

a

=（x-2，y），

b

=（x+2，y），且|a|+|b|=8，
（I）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点N（0，2）作直线l与曲线C交于A、B两点，若

OP

=

OA

+

OB

（O为坐标原点），是否存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量的加、减法运算及几何意义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）因为|a|+|b|=8，所以

(x+2)2+y2

+

(x-2)2+y2

=8．
所以动点M的轨迹是到定点F₁（-2，0），F₂（2，0）的距离之和为8的椭圆．
则曲线C的方程是

x2

16

+

y2

12

=1．
（Ⅱ）因为直线l过点N（0，2），若直线l的斜率不存在，则l的方程为x=0，与椭圆的两个交点A、B为椭圆的顶点．
由

OP

=

OA

+

OB

，则P与O重合，与OAPB为四边形矛盾．
若直线l的斜率存在，设方程为y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y=kx+2

x2

16

+

y2

12

=1

得（4k²+3）x²+16kx-32=0．
△=256k²+128（4k²+3）＞0恒成立．
由根与系数关系得：x1+x2=-

16k

4k2+3

，x1x2=

-32

4k2+3

．
因为

OP

=

OA

+

OB

，所以四边形OAPB为平行四边形．
若存在直线l使四边形OAPB为矩形，则

OA

⊥

OB

，即

OA

?

OB

=0．
所以x₁x₂+y₁y₂=0．
所以（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0．
即(1+k2)(-

32

4k2+3

)-2k?

16k

4k2+3

+4=0．
化简得：12k²+5=0．与斜率存在矛盾．
则不存在直线l，使得四边形OAPB为矩形．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设动点M的坐标为（x，y）（x、y∈R），向量a=（x-2，y），b=（x+2，y），且..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量的加、减法运算及几何意义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量的加、减法运算及几何意义”。

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