已知函数f（x）=x2+2ax（x＞0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a=12时，若P（x1，f（x1）），Q（x2f（x2））（0＜x1＜x2）是函数图象上的两点，且存在实数x0＞0，使得f′（x0）=f(x2)-f(x1)x2-x1-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2+2ax（x＞0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-18 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²+

2a

x

（x＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=

1

2

时，若P（x₁，f（x₁）），Q（x₂f（x₂））（0＜x₁＜x₂）是函数图象上的两点，且存在实数x₀＞0，使得f′（x₀）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

．证明：x₁＜x₀＜x₂．

试题来源：佛山二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数零点的判定定理

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=2x-

2a

x2

=

2x3-2a

x2

…（1分）
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调递增； …（3分）
②当a＞0时，当0＜x＜

3	a

时，f′（x）＜0，函数在（0，

3	a

）上单调递减；
当x＞

3	a

时，f′（x）＞0，函数在[

3	a

，+∞）上单调递增．…（5分）
综上可知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，递增区间为（0，∞）；
当a＞0时，函数f（x）单调递减区间为（0，

3	a

）；单调递增区间为[

3	a

，+∞）．…（6分）
（2）当a=

1

2

时，f（x）=x²+

1

x

（x＞0），此时f′（x）=2x-

1

x2

，…（7分）

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

(x22+

1

x2

)-(x12+

1

x1

)

x2-x1

=

(x2-x1)[(x2+x1)-

1

x1x2

]

x2-x1

=（x₂+x₁）-

1

x1x2

，
从而原等式为2x₀-

1

x02

=（x₂+x₁）-

1

x1x2

．…（8分）
由题意可得x₀是方程2x-

1

x2

-（x₂+x₁）+

1

x1x2

=0的根，…（9分）
令g（x）=2x-

1

x2

-（x₂+x₁）+

1

x1x2

，
g（x₁）=2x₁-

1

x12

+

1

x1x2

-x₁-x₂=（x₁-x₂）-

x2-x1

x12x2

=（x₁-x₂）（1+

1

x12x2

）＜0，…（11分）
g（x₂）=2x₂-

1

x22

+

1

x1x2

-x₁-x₂=（x₂-x₁）-

x1-x2

x22x1

=（x₂-x₁）（1+

1

x1x22

）＞0，…（12分）
g（x₁）?g（x₂）＜0，由零点的存在性定理，可知：
∴x₁＜x₀＜x₂．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2+2ax（x＞0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数零点的判定定理”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数零点的判定定理”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：