设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)=2x-x2，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)+f(1)+f(-数学试题及答案

1、试题题目：设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x)．当..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-09 07:30:00

试题原文

设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)=2x-x²，
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 012)．

试题来源：同步题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：(1)∵f(x+2)=-f(x)，
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)当x∈[-2，0]时，-x∈[0，2]，
由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)²=-2x-x²，
又f(x)是奇函数，
∴f(-x)=-f(x)=-2x-x²，
∴f(x)=x²+2x，
又当x∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，
∴f(x-4)=(x-4)²+2(x-4)，
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)=f(x-4) =(x-4)²+2(x-4) =x²-6x+8，
从而求得x∈[2，4]时，f(x)=x²-6x+8；
(3)f(0)=0，f(2)=0，f(1)=1，f(3)=-1，
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)+f(2 012)=0，
∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 012)=0。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x)．当..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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