已知定义在R上的函数f（x）满足f（a+b）=f（a）+f（b），且x>0时，f（x）<0，f（1）=-2。（1）求证f（x）是奇函数；（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值。-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在R上的函数f（x）满足f（a+b）=f（a）+f（b），且x>0时，f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-09 07:30:00

试题原文

已知定义在R上的函数f（x）满足f（a+b）=f（a）+f（b），且x>0时，f（x）<0，f（1）=-2。
（1）求证f（x）是奇函数；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值。

试题来源：同步题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）∵f（a+b）=f（a）+f（b），
令a=-b，得f（0）=f（a）+f（-a）；
令a=b=0，得f（0）=2f（0），
∴f（0）=0
∴f（a）+f（-a）=0（a∈R）
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数。
（2）解：设x₁＜x₂，x₁、x₂∈R
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
即f（x₂）＜f（x₁）
∴函数f（x）在R上是单调递减的
∴f（x）在[-3，3]上的最大值是f（-3），最小值是f（3）
∵f（1）=-2，
∴f（2）=f（1）+f（1）=-4，f（3）=f（2）+f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6
∴f（x）在[-3，3]上的最大值为6，最小值为-6。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在R上的函数f（x）满足f（a+b）=f（a）+f（b），且x>0时，f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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