已知函数f（x）对任意实数x都有f（x+1）+f（x）=1，且当x∈[0，2]时，f（x）=|x-1|．（1）当x∈[2k，2k+2]（k∈Z）时，求f（x）的表达式．（2）证明f（x）是偶函数．（3）试问方程f(x)+log41x=0是否有实-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）对任意实数x都有f（x+1）+f（x）=1，且当x∈[0，2]时，f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）对任意实数x都有f（x+1）+f（x）=1，且当x∈[0，2]时，f（x）=|x-1|．
（1）当x∈[2k，2k+2]（k∈Z）时，求f（x）的表达式．
（2）证明f（x）是偶函数．
（3）试问方程f(x)+log4

1

x

=0是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）对任意实数x，满足f（x）=1-f（x+1）=1-[1-f（x+2）]=f（x+2）=1-f（x+3）=1-[1-f（x+4）]=f（x+4）=…，
也就是有f（x）=f（x+2T），其中T属于z．即f（x）是一个周期为2的周期函数．
对于任意x属于[2k，2k+2]，有x-2k属于[0，2]，则
f（x）=f（x-2k）=|（x-2k）-1|=|x-2k-1|
所以，x∈[2k，2k+2]（k∈Z）时，f（x）=|x-2k-1|
f（x）=|x-2k-1|（2k≤x≤2k+2，k∈Z）
（2）由（1）可知函数是个周期为2的周期函数，
可将f（x）通式写为f（x）=|x-2k-1|，x∈[2k，2k+2]
取x∈[2k，2k+2]则-x∈[-2k-2，-2k]
那么：f（-x）=|-x-（-2k-1）|=|-x+2k+1|
=|x-2k-1|=f（x）所以是偶函数．
（3）方程f(x)+log4

1

x

=0化为f（x）=log₄x，
log₄x=|x-2k-1|，x∈[2k，2k+2]，如图

魔方格

x=4时方程有一个根，x＞4时，方程无根，
方程在[1，4]上有3个实根．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）对任意实数x都有f（x+1）+f（x）=1，且当x∈[0，2]时，f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：