给出集合A={-2，-1，-12，-13，12，1，2，3}．已知a∈A，使得幂函数f（x）=xa为奇函数；指数函数g（x）=ax在区间（0，+∞）上为增函数．（1）试写出所有符合条件的a，说明理由；（2）判断f-数学试题及答案

1、试题题目：给出集合A={-2，-1，-12，-13，12，1，2，3}．已知a∈A，使得幂函数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

给出集合A={-2，-1，-

1

2

，-

1

3

，

1

2

，1，2，3}．已知a∈A，使得幂函数f（x）=x^a为奇函数；指数函数g（x）=a^x在区间（0，+∞）上为增函数．
（1）试写出所有符合条件的a，说明理由；
（2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性，并证明；
（3）解方程：f[g（x）]=g[f（x）]．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）a=3．…1分
∵指数函数g（x）=a^x在区间（0，+∞）上为增函数，
∴a＞1，
∴a只可能为2或3．
而当a=2时，幂函数f（x）=x²为偶函数，
只有当a=3时，幂函数f（x）=x³为奇函数．
（只需简单说明理由即可，无需与答案相同）…2分
（2）f（x）=x³在（0，+∞）上为增函数．…1分
证明：在（0，+∞）上任取x₁，x₂，x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x₁³-x₂³=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）
=(x1-x2)[(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x

22

]，
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x

22

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）=x³在（0，+∞）上为增函数．…3分
（3）f[g（x）]=（3^x）³=3^3x，
g[f（x）]=3x3，
∴3^3x=3x3，…2分
根据指数函数的性质，
得3x=x³，
∴x₁=0，x₂=

3

，x₃=-

3

． …1分．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“给出集合A={-2，-1，-12，-13，12，1，2，3}．已知a∈A，使得幂函数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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