x，y为正整数，且两个分数之和x2-1y+1+y2-1x+1也是整数，求证：这两个分数都是整数．-数学试题及答案

1、试题题目：x，y为正整数，且两个分数之和x2-1y+1+y2-1x+1也是整数，求证：这..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-03-29 07:30:00

试题原文

x，y为正整数，且两个分数之和

x2-1

y+1

+

y2-1

x+1

也是整数，求证：这两个分数都是整数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：初中考察重点：整式的加减乘除混合运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：两个数的和为自然数，则这两个数要么都是分数，要么都是整数（在此题中为自然数）；
对于

x2-1

y+1

与

y2-1

x+1

的积有：

x2-1

y+1

×

y2-1

x+1

=（x-1）×（y-1），
由于x与y是自然数，那么（x-1）×（y-1）也是自然数，
对于两个分数的乘积，可写成：（a+

1

m

）×（b+

1

n

）=ab+

a

n

+

b

m

+

1

mn

，其中a、b、m、n均为整数，
由于

1

mn

的存在，所以若两个数相乘得到的结果是整数，那么它们中至少有一个是整数，
对于本题而言，由于

x2-1

y+1

×

y2-1

x+1

=（x-1）×（y-1）为整数，
因此他们中至少有一个是整数，
又∵在（i）中知

x2-1

y+1

与

y2-1

x+1

要么同为整数，要么同为分数，
因此可得出结论：

x2-1

y+1

与

y2-1

x+1

都是整数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“x，y为正整数，且两个分数之和x2-1y+1+y2-1x+1也是整数，求证：这..”的主要目的是检查您对于考点“初中整式的加减乘除混合运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中整式的加减乘除混合运算”。

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