已知数列{an}的前n项和Sn满足条件2Sn=3（an-1），其中n∈N*．（1）求证：数列{an}成等比数列；（2）设数列{bn}满足bn=log3an．若cn=anbn，求数列{cn}的前n项和．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和Sn满足条件2Sn=3（an-1），其中n∈N*．（1）求证..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足条件2S_n=3（a_n-1），其中n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n}成等比数列；
（2）设数列{b_n}满足b_n=log₃a_n．若 c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和．

试题来源：烟台一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题得an=Sn-Sn-1=

3

2

(an-an-1)(n≥2)…（2分）所以a_n=3a_n-1故有

an

an-1

=3(n≥2)…（4分）
又S1=

3

2

(a1-1)=a1，解得a₁=3，所以数列{a_n}成等比数列…（6分）
由（1）得a_n=3ⁿ，则b_n=log₃a_n=log₃3ⁿ=n…（8分）故有 c_n=a_nb_n=n3ⁿ
设T_n=1?3¹+2?3²+3?3³+…+（n-1）3^n-1+n?3ⁿ3T_n=1?3²+2?3³+3?3⁴+…+（n-1）3ⁿ+n?3ⁿ⁺¹…（10分）
则 -2Tn=(31+32+33+…+3n)-n?3n+1=

3(1-3n)

1-3

-n?3n+1
所以Tn=

(2n-1)3n+1+3

4

…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和Sn满足条件2Sn=3（an-1），其中n∈N*．（1）求证..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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