数列an的前n项和为Sn，Sn=2an-3n（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列an+3是等比数列，求出数列an的通项公式；（Ⅱ）设bn=n3an，求数列bn的前n项和Tn；（Ⅲ）判断数列an中是否存在构成等差数列的三项-数学试题及答案

1、试题题目：数列an的前n项和为Sn，Sn=2an-3n（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列an+3是等比数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

数列a_n的前n项和为S_n，S_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明数列a_n+3是等比数列，求出数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

n

3

an，求数列b_n的前n项和T_n；
（Ⅲ）判断数列a_n中是否存在构成等差数列的三项？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）因为S_n=2a_n-3n，所以S_n+1=2a_n+1-3（n+1），
则a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，所以a_n+1=2a_n+3，

an+1+3

an+3

=2，
数列a_n+3是等比数列，a₁=S₁=3，a₁+3=6，a_n+3=6?2^n-1=3?2ⁿ，
所以a_n=3?2ⁿ-3．
（Ⅱ）bn=

n

3

an=n?2n-n，T_n=2+2?2²+3?2³++n?2ⁿ-（1+2++n），
令T_n^′=2+2?2²+3?2³++n?2ⁿ，①2T_n^′=2²+2?2³+3?2⁴++（n-1）?2ⁿ+n?2ⁿ⁺¹，②
①-②得，-T_n^′=2+2²++2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹=-2（1-2ⁿ）-n?2ⁿ⁺¹，T_n^′=2+（n-1）?2ⁿ⁺¹，
所以Tn=(n-1)?2n+1+2-

1

2

n(n+1)．
（Ⅲ）设存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s，a_p，a_r成等差数列，则2a_p=a_s+a_r，即2（3?2^p-3）=3?2^s-3+3?2^r-3
即2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，2^p-s+1，2^r-s为偶数，而1+2^r-s为奇数，
所以2^p+1=2^s+2^r不成立，故不存在满足条件的三项．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列an的前n项和为Sn，Sn=2an-3n（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列an+3是等比数..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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