在数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0（n≥2，n∈N*）．（1）试判断数列{1an}是否成等差数列；（2）设{bn}满足bn=1an，求数列{bn}的前n项和Sn；（3）若λan+1an+1≥λ对任意n≥2的整数恒成-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0（n≥2，n∈N*）．（1）试判断数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N^*）．
（1）试判断数列{

1

an

}是否成等差数列；
（2）设{b_n}满足b_n=

1

an

，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）若λa_n+

1

an+1

≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵数列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N^*），
∴a_n-1-a_n=3a_na_n-1，
∴

1

an

-

1

an-1

=3（n≥2）．
故数列{

1

an

}是等差数列．
（2）由（1）的结论可得b_n=

1

an

=1+（n-1）×3，
所以b_n=3n-2，
∴S_n=

n(1+3n-2)

2

=

n(3n-1)

2

．
（3）将a_n=

1

bn

=

1

3n-2

代入λa_n+

1

an+1

≥λ并整理得λ（1-

1

3n-2

）≤3n+1，
∴λ≤

(3n+1)(3n-2)

3n-3

，
原命题等价于该式对n≥2恒成立．
设C_n=

(3n+1)(3n-2)

3n-3

，
则C_n+1-C_n=

(3n+1)(3n-4)

3n(n-1)

＞0，C_n+1＞C_n，
∵n=2时，C_n的最小值C₂为

28

3

，
∴λ的取值范围是（-∞，

28

3

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0（n≥2，n∈N*）．（1）试判断数..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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