设数列{an}、{bn}（bn＞0，n∈N*），满足an=lgb1+lgb2+…+lgbnn（n∈N*），证明：{an}为等差数列的充要条件是{bn}为等比数列．-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}、{bn}（bn＞0，n∈N*），满足an=lgb1+lgb2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}、{b_n}（b_n＞0，n∈N^*），满足a_n=

lgb1+lgb2+…+lgbn

n

（n∈N^*），证明：{a_n}为等差数列的充要条件是{b_n}为等比数列．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：充分性：若{b_n}为等比数列，设公比为q，则a_n=

nlgb1+lg(q?q2qn-1)

n

=

nlgb1+lgq

n(n-1)

2

n

=lgb₁+（n-1）lgq^

1

2

，a_n+1-a_n=lgq^

1

2

为常数，
∴{a_n}为等差数列．
必要性：由a_n=

lgb1+lgb2++lgbn

n

得na_n=lgb₁+lgb₂++lgb_n，（n+1）a_n+1=lgb₁+lgb₂++lgb_n+1，
∴n（a_n+1-a_n）+a_n+1=lgb_n+1．
若{a_n}为等差数列，设公差为d，
则nd+a₁+nd=lgb_n+1，
∴b_n+1=10^a1+2nd，b_n=10^a1+2(n-1)d．
∴

bn+1

bn

=10^2d为常数．
∴{b_n}为等比数列．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}、{bn}（bn＞0，n∈N*），满足an=lgb1+lgb2..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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