在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2。设直线A1B1的倾斜角的正弦值为，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B-数学试题及答案

1、试题题目：在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右顶点分别为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：

（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A₁，A₂，上、下顶点分别为B₁，B₂。设直线A₁B₁的倾斜角的正弦值为

，圆C与以线段OA₂为直径的圆关于直线A₁B₁对称，
（Ⅰ）求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）判断直线A₁B₁与圆C的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）若圆C的面积为π，求圆C的方程。

试题来源：江苏模拟题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）设椭圆E的焦距为2c（c＞0），
因为直线A₁B₁的倾斜角的正弦值为

，
所以

，
于是a²=8b²，即a²=8（a²-c²），
所以椭圆E的离心率

；
（Ⅱ）由

可设a=4k（k＞0），

，
于是A₁B₁的方程为

，
故OA₂的中点（2k，0）到A₁B₁的距离

，
又以OA₂为直径的圆的半径r=2k，即有d=r，
所以直线A₁B₁与圆C相切；
（Ⅲ）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而

，
设OA₂的中点（1，1）关于直线A₁B₁：

的对称点为（m，n），
则

，解得

，
所以，圆C的方程为

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右顶点分别为..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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