如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点，(Ⅰ)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(Ⅱ)证明：平面ABM⊥平面A1B1M。-数学试题及答案

1、试题题目：如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-22 07:30:00

试题原文

如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M是棱CC₁的中点，
(Ⅰ)求异面直线A₁M和C₁D₁所成的角的正切值；
(Ⅱ)证明：平面ABM⊥平面A₁B₁M。

试题来源：湖南省高考真题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：异面直线所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

(Ⅰ)解：因为C₁D₁∥B₁A₁，所以∠MA₁B₁为异面直线A₁M与C₁D₁所成的角，
因为A₁B₁⊥平面BCC₁B，所以∠A₁B₁M=90°，
而

，
故

，
即异面直线A₁M和C₁D₁所成的角的正切值为

。
(Ⅱ)证明：由A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，BM

平面BCC₁B₁，得A₁B₁⊥BM， ①
由(Ⅰ)知，

，
又

，
所以B₁M²+BM²=B₁B²，从而BM⊥B₁M，
又A₁B₁∩B₁M=B₁，再由①，②得BM⊥平面A₁B₁M，
而BM

平面ABM，
因此平面ABM⊥平面A₁B₁M．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的..”的主要目的是检查您对于考点“高中异面直线所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中异面直线所成的角”。

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