已知双曲线C关于两条坐标轴都对称，且过点P（2，1），直线PA1与PA2（A1，A2为双曲线C的两个顶点）的斜率之积kPA1?kPA2=1，求双曲线C的标准方程．-数学试题及答案

1、试题题目：已知双曲线C关于两条坐标轴都对称，且过点P（2，1），直线PA1与PA2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-24 07:30:00

试题原文

已知双曲线C关于两条坐标轴都对称，且过点P（2，1），直线PA₁与PA₂（A₁，A₂为双曲线C的两个顶点）的斜率之积kPA1?kPA2=1，求双曲线C的标准方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当双曲线的焦点位于x轴上时，设C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
所以A₁（-a，0），A₂（a，0），
所以kPA1?kPA2=

1

2+a

?

1

2-a

=

1

4-a2

=1，
解得a²=3．…2分
将a²=3，P（2，1）代入双曲线方程，得

4

3

-

1

b2

=1，解得b²=3．…2分
所以双曲线C的标准方程为

x2

3

-

y2

3

=1．…2分
（2）当双曲线的焦点位于y轴上时，设C：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），
所以A₁（0，-a），A₂（0，a），
所以kPA1?kPA2=

2

1+a

?

2

1-a

=

4

1-a2

=1，
解得a²=-3（舍去）．…2分
综上，所求双曲线C的标准方程为

x2

3

-

y2

3

=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知双曲线C关于两条坐标轴都对称，且过点P（2，1），直线PA1与PA2..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的标准方程及图象”。

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