已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an-1an(n∈N+)（1）证明{1an-1}为等差数列，并求an；（2）若cn=(an-1)?(87)n，求数列{cn}中的最小值．（3）设f(n)=nan+4n为奇数3an-1+2n为偶数（n∈N+），-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an-1an(n∈N+)（1）证明{1an-1}为等差..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-19 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁=2，an+1=

2an-1

an

(n∈N+)
（1）证明{

1

an-1

}为等差数列，并求a_n；
（2）若cn=(an-1)?(

8

7

)n，求数列{c_n}中的最小值．
（3）设f(n)=

nan+4 n为奇数

3

an-1

+2 n为偶数

（n∈N⁺），是否存在m∈N⁺使得f（m+15）=5f（m）成立？

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意可得：an+1-1=

2an-1

an

-1=

an-1

an

，
所以

1

an+1-1

=

an

an-1

=1+

1

an-1

…（2分）
所以 {

1

an-1

}是首项为

1

a1-1

=1，公差为1的等差数列，
并且

1

an-1

=1+(n-1)×1=n，
所以可得：an=1+

1

n

…（4分）
（2）由（1）可得：cn=

1

n

×(

8

7

)n，根据题意设{c_n}中最小者为c_m
所以有

cm≤cm+1

cm≤cm-1

，即

1

m

×(

8

7

)m≤

1

m+1

×(

8

7

)m+1

1

m

×(

8

7

)m≤

1

m-1

×(

8

7

)m-1

…（6分）
解得

m≥7

m≤8

…（8分）
所以{c_n}中最小值为c7=c8=

87

78

…（9分）
（3）由已知得f(n)=

n+5

3n+2

n为奇数

n为偶数

…（10分）
①当m为奇数时，m+15为偶数，则有f（m+15）=5f（m），
所以由题意可知：3（m+15）+2=5（m+5），解得 m=11…（12分）
②当m为偶数时，m+15为奇数，则有（m+15）+5=5（3m+2），所以解得m=

5

7

（舍去），
故存在m=11使得等式成立…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an-1an(n∈N+)（1）证明{1an-1}为等差..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：