已知f（x）=alnx-bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．（1）求f（x）的单调增区间；（2）令g（x）=f（x）-kx（k∈R），如果g（x）图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=alnx-bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）令g（x）=f（x）-kx（k∈R），如果g（x）图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，AB的中点为G（x₀，0），问g（x）在x=x₀处是否取得极值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=

a

x

-2bx…1分
f′（2）=

a

2

-4b，f（2）=aln2-4b，
∴

a

2

-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2，
解得a=2，b=1…2分
由

f′(x)=

2

x

-2x＞0

x＞0

解得0＜x＜1，
∴f（x）的单调增区间是（0，1）…4分
（2）g（x）=2lnx-x²-kx（k∈R），
g′（x）=

2

x

-2x-k…5分
假设结论g（x）在x=x₀处取极值，则g′（x）=0成立，则有

2lnx1-x12-kx1=0 (1)

2lnx2-x22-kx2=0 (2)

x1+x2=2x0 (3)

2

x0

-2x0-k=0 (4)

（1）-（2），得2ln

x1

x2

-（x12-x22）-k（x₁-x₂）=0，
∴k=

2ln

x1

x2

x1-x2

-2x₀．
由（4）得k=

2

x0

-2x₀，
∴

ln

x1

x2

x1-x2

=

1

x0

，
即

ln

x1

x2

x1-x2

=

2

x1+x2

，
即ln

x1

x2

=

2?

x1

x2

-2

x1

x2

+1

（5）…10
令t=

x1

x2

，u（t）=lnt-

2t-2

t+1

（0＜t＜1），
∵u′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴u（t）在（0，1）上是增函数，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴lnt-

2t-2

t+1

＜0，
∴（5）式不成立，与假设矛盾，…11分
故g（x）在x=x₀处不是极值点…12分

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=alnx-bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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