已知函数f(x)=a?2x-2+a2x+1（a∈R）．（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（2）若f（x）为定义域上的奇函数，①求函数f（x）的值域；②求满足f（ax）＜f（2a-x2）的x的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=a?2x-2+a2x+1（a∈R）．（1）试判断f（x）的单调性，并证明..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

a?2x-2+a

2x+1

（a∈R）．
（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）若f（x）为定义域上的奇函数，
①求函数f（x）的值域；
②求满足f（ax）＜f（2a-x²）的x的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（本小题满分16分）
（1）函数f（x）为定义域（-∞，+∞），
且f(x)=a-

2

2x+1

，
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂
则f(x2)-f(x1)=a-

2

2x2+1

-a+

2

2x1+1

=

2(2x2-2x1)

(2x2+1)(2x1+1)

…（3分）
∵y=2^x在R上单调递增，且x₁＜x₂
∴0＜2x1＜2x2，2x2-2x1＞0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（-∞，+∞）上的单调增函数．…（5分）
（2）∵f（x）是定义域上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），
即a-

2

2-x+1

+(a-

2

2x+1

)=0对任意实数x恒成立，
化简得2a-(

2?2x

2x+1

+

2

2x+1

)=0，
∴2a-2=0，即a=1，…（8分）
（注：直接由f（0）=0得a=1而不检验扣2分）
①由a=1得f(x)=1-

2

2x+1

，
∵2^x+1＞1，∴0＜

1

2x+1

＜1，…（10分）
∴-2＜-

2

2x+1

＜0，∴-1＜1-

2

2x+1

＜1
故函数f（x）的值域为（-1，1）．…（12分）
②由a=1，得f（x）＜f（2-x²），
∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，∴x＜2-x²，…（14分）
解得-2＜x＜1，
故x的取值范围为（-2，1）．…（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=a?2x-2+a2x+1（a∈R）．（1）试判断f（x）的单调性，并证明..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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