已知曲线C：f（x）=x2，C上的点A0，An的横坐标分别为1和an（n∈N*），且a1=5，数列{xn}满足xn+1=t?f(xn-1)+1(t＞0且t≠12，t≠1)，设区间Dn=[1，an]（an＞1），当x∈Dn时，曲线C上存在点P-数学试题及答案

1、试题题目：已知曲线C：f（x）=x2，C上的点A0，An的横坐标分别为1和an（n∈N*），且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知曲线C：f（x）=x²，C上的点A₀，A_n的横坐标分别为1和a_n（n∈N^*），且a₁=5，数列{x_n}满足xn+1=t?f(xn-1)+1(t＞0且t≠

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，t≠1)，设区间D_n=[1，a_n]（a_n＞1），当x∈D_n时，曲线C上存在点P_n（x_n，f（x_n）），使得点P_n处的切线与直线A₀A_n平行．
（1）证明：{log_t（x_n-1）+1}是等比数列；
（2）当D_n+1?D_n对一切n∈N^*恒成立时，求t的取值范围；
（3）记数列{a_n}的前n项和为S_n，当t=

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4

时，试比较S_n与n+7的大小，并证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵由线在点P_n的切线与直线AA_n平行，
∴2xn=

an2-1

an-1

，即xn=

an+1

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，
由x_n+1=tf（x_n+1-1）+1，得x_n+1-1=t（x_n-1）²，
∴log_t（x_n+1-1）=1+2log_t（x_n-1），
即log_t（x_n+1-1）+1=2[log_t（x_n-1）+1]，
∴{log_t（x_n-1）+1}是首项为log_t2+1，公比为2的等比数列．
（2）由（1）得log_t（x_n-1）+1=（log_t2+1）?2^n-1，
∴xn=1+

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t

(2t)2n-1．
从而an=2xn-1=1+

2

t

(2t)2n-1，
由D_n+1?D_n对一切n∈N^*恒成立，
得a_n+1＜a_n，
即(2t)2n＜(2t)2n-1，
∴0＜2t＜1，
即0＜t＜

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．
（3）当t=

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时，an=1+8×(

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)2n-1，
∴Sn=n+8[

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+(

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2

)2+(

1

2

)4+…+(

1

2

)2n-1]，
当n≤3时，2^n-1≤n+1；
当n≥4时，2^n-1＞n+1，
∴当n≤3时，Sn≤n+8[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)4]=n+

13

2

＜n+7．
当n≥4时，S_n＜n+8[

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2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4+…+(

1

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)n+1]
=n+7-(

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2

)n-2
＜n+7．
综上所述，对任意的n∈N^*，都有S_n＜n+7．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知曲线C：f（x）=x2，C上的点A0，An的横坐标分别为1和an（n∈N*），且..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：