设函数f（x）=ax?lnx（a＞0）．（Ⅰ）当a=2时，判断函数g（x）=f（x）-4（x-1）的零点的个数，并且说明理由；（Ⅱ）若对所有x≥1，都有f（x）≤x2-1，求正数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=ax?lnx（a＞0）．（Ⅰ）当a=2时，判断函数g（x）=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=ax?lnx（a＞0）．
（Ⅰ）当a=2时，判断函数g（x）=f（x）-4（x-1）的零点的个数，并且说明理由；
（Ⅱ）若对所有x≥1，都有f（x）≤x²-1，求正数a的取值范围．

试题来源：温州模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当a=2时，g（x）=f（x）-4（x-1）=2xlnx-4x+4的定义域是（0，+∞）求导，得g′(x)=2(lnx-1)

＜0，0＜x＜e

=0，x=e

＞0，x＞e

所以，g（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数，g（x）_min=g（e）=2（2-e）＜0．
又g（1）=0，根据g（x）在（0，e）上为减函数，
则g（x）在（0，e）上恰有一个零点；
又g（e²）=4＞0，则g（e）g（e²）＜0，
所以g（x）在（e，e²）上恰有一个零点，
再根据g（x）在（e，+∞）上为增函数，g（x）在（e，+∞）上恰有一个零点．
综上所述，函数g（x）=f（x）-4（x-1）的零点的个数为2．
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-（x²-1）=axlnx-x²+1（a＞0，x≥1），
求导，再令G（x）=F'（x）=a（lnx+1）-2x，
则G′(x)=

a

x

-2
（ⅰ）若0＜a≤2，当x≥1时，G′(x)=

a

x

-2≤0，
故G（x）在[1，+∞）上为减函数，
所以当x≥1时，G（x）≤G（1）=a-2≤0，即F'（x）≤0，
则F（x）在[1，+∞）上为减函数，
所以当x≥1时，F（x）≤F（1）=0，即f（x）≤x²-1成立；
（ⅱ）若a＞2，方程G'（x）=0的解为x=

a

2

＞1，
则当1≤x≤

a

2

时，G′(x)=

a

x

-2≥0，
故G（x）在[1，

a

2

]上为增函数，
所以当1≤x≤

a

2

时，G（x）≥G（1）=a-2＞0，即F'（x）＞0，
则F（x）在[1，

a

2

]上为增函数，
所以当1＜x＜

a

2

时，F（x）＞F（1）=0，即f（x）＞x²-1成立，此时不合题意．
综上，满足条件的正数a的取值范围是（0，2]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=ax?lnx（a＞0）．（Ⅰ）当a=2时，判断函数g（x）=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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