定义在R上的函数f（x）满足①f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy②f(0)=0，f(π2)=1．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）求f（x）；（3）求f（x）+cosx+f（x）?cosx的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：定义在R上的函数f（x）满足①f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy②f(0)=0，f(π2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

定义在R上的函数f（x）满足①f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy ②f(0)=0，f(

π

2

)=1．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（2）求f（x）；
（3）求f（x）+cosx+f（x）?cosx的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x=0，得f（y）+f（-y）=0∴f（x）是奇函数．
（2）令y=

π

2

，
得f(x+

π

2

)+f(x-

π

2

)=2f(x)cos

π

2

=0
令x=

π

2

，y=x，
得f(x+

π

2

)+f(

π

2

-x)=2f(

π

2

)cosx=2cosx
由（1），f（x）是奇函数，f(x-

π

2

)+f(

π

2

-x)=0
两式相加：2f(x+

π

2

)=2cosx∴f(x)=cos(

π

2

-x)=sinx
（3）即求y=sinα+cosα+sinα?cosα的最大值
设sinα+cosα=t=

2

sin(x+

π

4

)，则t∈[-

2

，

2

]，
且t²=（sinα+cosα）²=1+2sinα?cosα，即sinα?cosα=

t2-1

2

∴y=t+

t2-1

2

=

1

2

t2+t-

1

2

，t∈[-

2

，

2

]∴t=

2

时，ymax=

2

+

1

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在R上的函数f（x）满足①f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy②f(0)=0，f(π2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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