已知函数f（x）=lnx-ax2-bx（a，b∈R），g（x）=2x-2x+1-lnx（I）当a=-1时，f（x）与g（x）在定义域上的单调性相反，求b的取值范围；（II）设x1，x2是函数y=f（x）的两个零点，且x1＜x2求证2x1-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx-ax2-bx（a，b∈R），g（x）=2x-2x+1-lnx（I）当a=-1时..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx-ax²-bx（a，b∈R），g（x）=

2x-2

x+1

-lnx
（I）当a=-1时，f（x）与g（x）在定义域上的单调性相反，求b的取值范围；
（II）设x₁，x₂是函数y=f（x）的两个零点，且x₁＜x₂求证

2

x1+x2

＜a（x₁+x₂）+b．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵a=-1，∴f（x）=lnx+x²-bx
由题意可知，f（x）与g（x）的定义域均为（0，+∞）
∵g′（x）=

2(x+1)-(2x-2)

(x+1)2

-

1

x

4

(x+1)2

-

1

x

=

-x2+2x-1

x(x+1)2

=-

(x-1)2

x(x+1)2

≤ 0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减
又a=-1时，f（x）与g（x）在定义域上的单调性相反
∴f（x）=lnx-ax²-bx在（0，+∞）上单调递增
∴f′（x）=

1

x

+2x-b≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，
即b≤

1

x

+2x对x∈（0，+∞）恒成立，
∴只需b≤（

1

x

+2x）max，
∵x＞0∴

1

x

+2x≥2

2

（当且仅当x=

2

时，等号成立）
∴b≤2

2

，∴b的取值范围（-∞，2

2

）；
（II）由已知可得

f(x1)=lnx1- a

x

12

-bx1=0

f(x2)=lnx2- a

x

22

bx2=0

∴

lnx1=a

x

21

+bx1

lnx2= a

x

22

+bx2

∴ln

x1

x2

= a(x1+x2)(x1-x2) +b(x1-x2)
即ln

x1

x2

= (x1-x2)[a(x1+x2) +b]∴a（x₁+x₂）+b=

1

x1-x2

ln

x1

x2

从而

2

x1+x2

-[a(x1+x2)+b] =

2

x1+x2

-

1

x1-x2

ln

x1

x2

=

1

x1-x2

[

2(x1-x2)

x1+x2

-ln

x1

x2

]
=

1

x1-x2

[-

2(

x1

x2

-1)

x1

x2

+1

-ln

x1

x2

]，
∵g（x）=

2x-2

x+1

-lnx在（0，+∞）上单调递减，且

x1

x2

＜1
∴当0＜t＜1时，g（t）＞g（1）=0
∴

2(x1-x2)

x1+x2

-ln

x1

x2

＞0，
又

1

x1-x2

＜ 0，
∴

2

x1+x2

-[a(x1+x2)+b] ＜0即

2

x1+x2

＜a(x1+x2) +b
即证．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx-ax2-bx（a，b∈R），g（x）=2x-2x+1-lnx（I）当a=-1时..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：