已知f(12log12x)=x-1x+1．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）判断f（x）的单调性并证明．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f(12log12x)=x-1x+1．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）判断f（x）的单调..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知f(

1

2

log

1

2

x)=

x-1

x+1

．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性并证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）令t=

1

2

log

1

2

x，所以x=(

1

2

)2t，所以有f（t）=

(

1

2

)2t-1

(

1

2

)2t+1

=

1-4t

1+4t

所以f（x）=

1-4x

1+4x

．此函数的定义域为R，因为f（-x）=

1-4-x

1+4-x

=

1-

1

4x

1+

1

4x

=

4x-1

1+4x

=-

1-4x

1+4x

=-f(x)
所以函数f（x）为定义域上的奇函数．
（Ⅱ）函数f（x）为实数集上的减函数．
证明：设x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

1-4x1

1+4x1

-

1-4x2

1+4x2

=

(1-4x1)(1+4x2)-(1-4x2)(1+4x1)

(1+4x1)(1+4x2)

=

2(4x2-4x1)

(1+4x1)(1+4x2)

．因为x₁＜x₂，所以4x2-4x1＞0，所以

2(4x2-4x1)

(1+4x1)(1+4x2)

＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂），所以函数f（x）为实数集上的减函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f(12log12x)=x-1x+1．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）判断f（x）的单调..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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