已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m，n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2，(Ⅰ)求a3，a5；(Ⅱ)设bn=a2n+1-a2n-1（n∈N*），证明：{bn}是等差数列；(Ⅲ)设cn=(an+1-an)qn-1(q≠-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m，n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-05 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁=0，a₂=2，且对任意m，n∈N*都有a_2m-1+a_2n-1=2a_m+n-1+2(m-n)²，
(Ⅰ)求a₃，a₅；
(Ⅱ)设b_n=a_2n+1-a_2n-1（n∈N*），证明：{b_n}是等差数列；
(Ⅲ)设c_n=(a_n+1-a_n)q^n-1(q≠0，n∈N*)，求数列{c_n}的前n项和S_n。

试题来源：四川省高考真题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：一般数列的项

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：(Ⅰ)由题意，令m=2，n=1可得a₃=2a₂-a₁+2=6，
再令m=3，n=1可得a₅=2a₃-a₁+8=20.
(Ⅱ)当n∈N*时，由已知(以n+2代替m)可得a_2n+3+a_2n-1=2a_2n+1+8，
于是

，即

=8，
所以，数列{b_n}是公差为8的等差数列．
(Ⅲ)由(Ⅰ)、(Ⅱ)的解答可知{b_n}是首项b₁=a₃-a₁=6，公差为8的等差数列，
则b_n=8n-2，即a_2n+1-a_2n-1=8n-2，
另由已知(令m=1)可得，

，
那么，

，
于是，c_n=2nq^n-1，
当q=1时，S_n=2+4+6+…+2n=n(n+1)；
当q≠1时，S_n=2·q⁰+4·q¹+6·q²+…+2n·q^n-1，
两边同乘q可得qS_n=2·q¹+4·q²+6·q³+…+2(n-1)·q^n-1+2n·qⁿ，
上述两式相减即得

，
所以

，
综上所述，

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m，n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2..”的主要目的是检查您对于考点“高中一般数列的项”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中一般数列的项”。

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