发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-03-10 07:30:00
试题原文 |
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(Ⅰ)证明:若k=0,则fk(n)即f0(n)为常数, 不妨设f0(n)=c(c为常数). 因为an+Sn=fk(n)恒成立, 所以a1+S1=c,c=2a1=2. 而且当n≥2时,an+Sn=2,① an﹣1+Sn﹣1=2,② ①﹣②得 2an﹣an﹣1=0(n∈N,n≥2). 若an=0,则an﹣1=0,…,a1=0,与已知矛盾,所以an≠0(n∈N*). 故数列{an}是首项为1,公比为的等比数列. (Ⅱ)解:(1)若k=0,由(Ⅰ)知,不符题意,舍去. (2)若k=1,设f1(n)=bn+c(b,c为常数), 当n≥2时,an+Sn=bn+c,③ an﹣1+Sn﹣1=b(n﹣1)+c,④ ③﹣④得 2an﹣an﹣1=b(n∈N,n≥2). 要使数列{an}是公差为d(d为常数)的等差数列,必须有an=b﹣d(常数), 而a1=1,故{an}只能是常数数列,通项公式为an=1(n∈N*), 故当k=1时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为an=1(n∈N*), 此时f1(n)=n+1. (3)若k=2,设f2(n)=pn2+qn+t(a≠0,a,b,c是常数), 当n≥2时,an+Sn=pn2+qn+t,⑤ an﹣1+Sn﹣1=p(n﹣1)2+q(n﹣1)+t,⑥ ⑤﹣⑥得 2an﹣an﹣1=2pn+q﹣p(n∈N,n≥2), 要使数列{an}是公差为d(d为常数)的等差数列,必须有an=2pn+q﹣p﹣d,且d=2p, 考虑到a1=1,所以an=1+(n﹣1)2p=2pn﹣2p+1(n∈N*). 故当k=2时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为an=2pn﹣2p+1(n∈N*), 此时f2(n)=an2+(a+1)n+1﹣2a(a为非零常数). (4)当k≥3时,若数列{an}能成等差数列, 根据等差数列通项公式可知Sn是关于n的二次型函数, 则an+Sn的表达式中n的最高次数为2,故数列{an}不能成等差数列. 综上得,当且仅当k=1或2时,数列{an}能成等差数列. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设fk(n)为关于n的k(k∈N)次多项式.数列{an}的首项a1=1,前n项和为..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中等比数列的定义及性质”。