数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2nπ2）an+sin2nπ2，n=1，2，3，…．（1）求a3，a4并求数列{an}的通项公式；（2）设bn=a2n-1a2n，Sn=b1+b2+…+bn．证明：当n≥6时，|Sn-2|＜1n．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2nπ2）an+sin2nπ2，n=1，2，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，n=1，2，3，…．
（1）求a₃，a₄并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

a2n-1

a2n

，S_n=b₁+b₂+…+b_n．证明：当n≥6时，|S_n-2|＜

1

n

．

试题来源：湖南试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为a₁=1，a₂=2，
所以a₃=（1+cos²

π

2

）a₁+sin²

π

2

=a₁+1=2，
a₄=（1+cos²π）a₂+sin²π=2a₂=4．
一般地，当n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k+1=[1+cos²

(2k-1)π

2

]a_2k-1+sin²

(2k-1)π

2

=a_2k-1+1，即a_2k+1-a_2k-1=1．
所以数列{a_2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，
因此a_2k-1=k．
当n=2k（k∈N^*）时，a_2k+2=（1+cos²

2kπ

2

）a_2k+sin²

2kπ

2

=2a_2k．
所以数列{a_2k}是首项为2、公比为2的等比数列，
因此a_2k=2^k．
故数列{a_n}的通项公式为
a_n=

n+1

2

，n=2k-1(k∈N*)

2

n

2

，n=2k(k∈N*)

（2）由（1）知，b_n=

a2n-1

a2n

=

n

2n

，
所以S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，①

1

2

S_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n^+

1，②
①-②得，

1

2

S_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1

2

[1-(

1

2

)n]

1-

1

2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
所以S_n=2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．
要证明当n≥6时，|S_n-2|＜

1

n

成立，只需证明当n≥6时，

n(n+2)

2n

＜1成立．
（1）当n=6时，

6×(6+2)

26

=

48

64

=

3

4

＜1成立．
（2）假设当n=k（k≥6）时不等式成立，即

k(k+2)

2k

＜1．
则当n=k+1时，

(k+1)(k+3)

2k+1

=

k(k+2)

2k

×

(k+1)(k+3)

2k(k+2)

＜

(k+1)(k+3)

(k+2)?2k

＜1．
由（1）、（2）所述，当n≥6时，

n(n+2)

2n

＜1．
即当n≥6时，|S_n-2|＜

1

n

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2nπ2）an+sin2nπ2，n=1，2，..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：