如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（1）求该椭圆的离心率和标准方-数学试题及答案

1、试题题目：如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-21 07:30:00

试题原文

如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F₁，F₂，线段OF₁，OF₂的中点分别为B₁，B₂，且△AB₁B₂是面积为4的直角三角形．

（1）求该椭圆的离心率和标准方程；
（2）过B₁做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB₂⊥QB₂，求直线l的方程。

试题来源：高考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：直线与椭圆方程的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）设椭圆的方程为

，F₂（c，0）
∵△AB₁B₂是的直角三角形，|AB₁|=AB₂|，
∴∠B₁AB₂为直角，从而|OA|=|OB₂|，
即

∵c²=a²-b²，
∴a²=5b²，c²=4b²，
∴

在△AB₁B₂中，OA⊥B₁B₂，
∴S=

|B₁B₂||OA|=

∵S=4，
∴b²=4，
∴a²=5b²=20
∴椭圆标准方程为

；
（2）由（1）知B₁（﹣2，0），B₂（2，0），
由题意，直线PQ的倾斜角不为0，
故可设直线PQ的方程为x=my﹣2代入椭圆方程，
消元可得（m²+5）y²﹣4my﹣16﹣0
①设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴

，

∵

，

∴

=

∵PB₂⊥QB₂，
∴

∴

，
∴m=±2。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与椭圆方程的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与椭圆方程的应用”。

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