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1、试题题目：（1）设a，b，是两个非零向量，如果(a-3b)⊥(7a+5b)，且(a+4b)⊥(7a+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-02-16 07:30:00

试题原文

（1）设
a
，
b
，是两个非零向量，如果(
a
-3
b
)⊥(7
a
+5
b
)，且(
a
+4
b
)⊥(7
a
+2
b
)，求向量
a
与
b
的夹角大小；
（2）用向量方法证明：设平面上A，B，C，D四点满足条件AD⊥BC，BD⊥AC，则AB⊥CD．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：用数量积判断两个向量的垂直关系



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）因为(
a
-3
b
)⊥(7
a
+5
b
)，所以7
a
2-16
a
?
b
-15
b
2=0，
因为(
a
+4
b
)⊥(7
a
+2
b
)，所以7
a
2+30
a
?
b
+8
b
2=0，（2分）
两式相减得46
a
?
b
+23
b
2=0，于是
b
2=-2
a
?
b
，
将
b
2=-2
a
?
b
代回任一式得
a
2=-2
a
?
b
，（6分）
设与的夹角为θ，则cosθ=
a
?
b
|
a
||
b
|
=-
1
2
，
所以与的夹角大小为120°．（8分）
（2）因AD⊥BC，所以
AD
?
BC
=
AD
?(
AC
-
AB
)=0，
因BD⊥AC，所以
AC
?
BD
=
AC
?(
AD
-
AB
)=0，（12分）
于是
AD
?
AC
=
AD
?
AB
，
AC
?
AD
=
AC
?
AB
，
所以
AD
?
AB
=
AC
?
AB
，(
AD
-
AC
)?
AB
=0，（14分）
即
CD
?
AB
=0，所以
CD
⊥
AB
，即AB⊥CD．（16分）
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（1）设a，b，是两个非零向量，如果(a-3b)⊥(7a+5b)，且(a+4b)⊥(7a+..”的主要目的是检查您对于考点“高中用数量积判断两个向量的垂直关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用数量积判断两个向量的垂直关系”。


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