已知椭圆C以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点，且离心率e=22（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）过M(0，2)点斜率为k的直线l1与椭圆C有两个不同交点P、Q，求k的范围（Ⅲ）设椭圆C与x轴正半轴、y轴正半-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点，且离心率e=22（Ⅰ）求椭圆C..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-16 07:30:00

试题原文

已知椭圆C以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点，且离心率e=

2

（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）过M(0 ，

2

)点斜率为k的直线l₁与椭圆C有两个不同交点P、Q，求k的范围
（Ⅲ）设椭圆C与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在直线l₁，满足（Ⅱ）中的条件且使得向量

OP

+

OQ

与

AB

垂直？如果存在，写出l₁的方程；如果不存在，请说明理由

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用数量积判断两个向量的垂直关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设椭圆C的半长轴长、半短轴长、半焦距长分别为a、b、c
由题设知：c=1
由e=

c

a

=

1

a

=

1

2

，得a=

2

，
则b=1
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1
（Ⅱ）过M(0 ，

2

)点斜率为k的直线l1：y-

2

=kx
即l1：y=kx+

2

与椭圆C方程联立消y得（2k²+1）x²+4

2

x+2=0（*）
由l₁与椭圆C有两个不同交点知
其△=32k²-8（2k²+1）＞0得k＜-

2

或k＞

2

∴k的范围是(-∞，-

2

)∪(

2

，+∞)．
（Ⅲ）设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），则x₁、x₂是（*）的二根
则x1+x2=-

4

2

k

2k2+1

，则y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

2

=

2

2k2+1

则

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)=(-

4

2

k

2k2+1

，

2

2k2+1

)
由题设知A(

2

， 0) 、B(0 ， 1)，∴

AB

=(-

2

， 1)
若(

OP

+

OQ

)⊥

AB

，须(

OP

+

OQ

)?

AB

=

8k

2k2+1

+

2

2k2+1

=0
得k=-

2

4

?(-∞，-

2

)∪(

2

，+∞)
∴不存在满足题设条件的l₁．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点，且离心率e=22（Ⅰ）求椭圆C..”的主要目的是检查您对于考点“高中用数量积判断两个向量的垂直关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用数量积判断两个向量的垂直关系”。

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