如图示，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=1，M是线段EF的中点。（1）求证：AC⊥BF；（2）设二面角A-FD-B的大小为θ，求sinθ的值；（3）设点-数学试题及答案

1、试题题目：如图示，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-04 07:30:00

试题原文

如图示，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=1，M是线段EF的中点。

（1）求证：AC⊥BF；
（2）设二面角A-FD-B的大小为θ，求sinθ的值；
（3）设点P为一动点，若点P从M出发，沿棱按照M→E→C的路线运动到点C，求这一过程中形成的三棱锥P-BFD的体积的最小值。

试题来源：湖南省月考题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱体、椎体、台体的表面积与体积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）证明：∵AB=1，BC=AD=2，∠ADC=60°，
∴AC²=1+4-2×1×2×cos60°=3
∴

，
又∵AB=1，BC=2
∴

，
∴AC⊥AB
又AF⊥AC，AB∩AF=A
∴AC⊥平面ABF，
又∵BF

平面ABF，
∴AC⊥BF。
（2）∵AB=1，AD=2，∠BAD=120°，
∴BD²=1+4-2×1×2×cos120°=7
∴

∵AF=1，AB=1，AF⊥AB
∴△ABF是直角三角形，且BF=

∵AF=1，AD=2，AF⊥AD
∴DF=

，
∵

，BF=

，DF=

，
∴∠BFD=90°
设点A在平面BFD内的射影为O，过A作AG⊥DF于G，连接GO，
则∠AGO为二面角A-FD-B的平面角
即∠AGO=θ，
在△ADF中，由等面积法求得

，
由等体积法，V_A-BDF=V_F-ABD∴

×sin120°
∴点A到平面BFD的距离是

，
所以

，
即

；
（3）解：设AC与BD相交于O，则OF∥CM，
所以CM⊥平面BFD
当点P在M或C时，三棱锥P-BFD的体积最小，

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图示，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”。

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