抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N．求证：（1）A、O、D三点共线，B、O、C三点共线；（2）FN⊥AB（F为抛物线的焦点）．-数学试题及答案

1、试题题目：抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

抛物线y²=2px的焦点弦AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N．
求证：
（1）A、O、D三点共线，B、O、C三点共线；
（2）FN⊥AB（F为抛物线的焦点）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、中点M（x₀，y₀），焦点F的坐标是（

p

2

，0）．
由

y=k(x-

p

2

)

y2=2px

得ky²-2py-kp²=0．
∴A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N，
∴C（-

p

2

，y₁）、D（-

p

2

，y₂）、N（-

p

2

，y₀）．
∵kOA=

y1

x1

=

y1

y12

2p

=

2p

y1

，kOD=

y2

-

p

2

，
由ky²-2py-kp²=0
得y₁y₂=

-kp2

k

=-p²，
∴k_OA=k_OD，∴A、O、D三点共线．同理可证B、O、C三点共线．----（6分）
（2）k_FN=

y0

-p

，当x₁=x₂时，显然FN⊥AB；
当x₁≠x₂时，k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

y2-y1

1

2p

(y22-y12)

=

2p

y1+y2

=

p

y0

，
∴k_FN?k_AB=-1．
∴FN⊥AB．综上所述知FN⊥AB成立．----（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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