已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式logax-4loga2x+12loga3x-…+n(-2)n-1loganx＞1-(-2)n3loga(x2-a)．-数学试题及答案

1、试题题目：已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式logax-4loga2x+12..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-11 07:30:00

试题原文

已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式logax-4loga2x+12loga3x-…+n(-2)n-1loganx＞

1-(-2)n

3

loga(x2-a)．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数与对数运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

利用对数换底公式，原不等式左端化为
log_ax-4?

logax

logaa2

+12?

logax

logaa3

++n（-2）^n-1?

logax

logaan

=[1-2+4++（-2）^n-1]log_ax
=

1-(-2)n

3

log_ax
故原不等式可化为

1-(-2)n

3

log_ax＞

1-(-2)n

3

log_a（x²-a）．①
当n为奇数时，

1-(-2)n

3

＞0，不等式①等价于
log_ax＞log_a（x²-a）．②
因为a＞1，②式等价于

x＞0

x2-a＞0

x＞x2-a

?

x＞0

|x＞

a

x2-x-a＜0

?

x＞

a

1-

1+4a

2

＜x＜

1+

1+4a

2

因为

1-

1+4a

2

＜0，

1+

1+4a

2

＞

4a

2

=

a

，
所以，不等式②的解集为{x|

a

＜x＜

1+

1+4a

2

}．
当n为偶数时，

1-(-2)n

3

＜0，不等式①等价于
log_ax＞log_a（x²-a）．③
因为a＞1，③式等价于

x＞0

x2-a＞0

x＜x2-a

?

x＞0

|x＞

a

x2-x-a＞0

?

x＞

a

x＜

1-

1+4a

2

或

x＞

a

x＞

1+

1+4a

2

因为

1-

1+4a

2

＜0，

1+

1+4a

2

＞

4a

2

=

a

，
所以，不等式③的解集为{x|x＞

1+

1+4a

2

}．
综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是{x|

a

＜x＜

1+

1+4a

2

}；
当n为偶数时，原不等式的解集是{x|x＞

1+

1+4a

2

}

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式logax-4loga2x+12..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数与对数运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数与对数运算”。

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