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1、试题题目：已知函数和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x）的两条切线PM、PN，切点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-01-07 07:30:00

试题原文

已知函数和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x）的两条切线PM、PN，切点分别为M、N．
（Ⅰ）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；
（Ⅱ）是否存在t，使得M、N与A（0，1）三点共线．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n，在区间内总存在m+1个实数a1，a2，…，am，a m+1，使得不等式g（a1）+g（a2）+…+g（am）＜g（a m+1）成立，求m的最大值．

  试题来源：广东省同步题   试题题型：解答题   试题难度：偏难   适用学段：高中   考察重点：基本不等式及其应用



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
解：（Ⅰ）设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，
∵，
∴切线PM的方程为：，
又∵切线PM过点P（1，0），
∴有，即x12+2tx1﹣t=0，（1）
同理，由切线PN也过点P（1，0），得x22+2tx2﹣t=0．（2）
由（1）、（2），可得x1，x2是方程x2+2tx﹣t=0的两根，
∴（*）
=，把（*）式代入，得，
因此，函数g（t）的表达式为．
（Ⅱ）当点M、N与A共线时，kMA=kNA，
∴=，即=，
化简，得（x2﹣x1）[t（x2+x1）﹣x1x2]=0
∵x1≠x2，
∴t（x2+x1）=x2x1．（3）
把（*）式代入（3），解得．
∴存在t，使得点M、N与A三点共线，且．
（Ⅲ）知g（t）在区间上为增函数，
∴（i=1，2,...，m+1），则．依题意，不等式对一切的正整数n恒成立，，即对一切的正整数n恒成立．
∵，
∴，
∴．由于m为正整数，∴m≤6．
又当m=6时，存在a1=a2═am=2，a m+1=16，对所有的n满足条件．
因此，m的最大值为6．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x）的两条切线PM、PN，切点..”的主要目的是检查您对于考点“高中基本不等式及其应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中基本不等式及其应用”。


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