已知双曲线的焦点在y轴，实轴长为8，离心率e=2，过双曲线的弦AB被点P（4，2）平分；（1）求双曲线的标准方程；（2）求弦AB所在直线方程；（3）求直线AB与渐近线所围成三角形的面积．-数学试题及答案

1、试题题目：已知双曲线的焦点在y轴，实轴长为8，离心率e=2，过双曲线的弦AB被..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-24 07:30:00

试题原文

已知双曲线的焦点在y轴，实轴长为8，离心率e=

2

，过双曲线的弦AB被点P（4，2）平分；
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求弦AB所在直线方程；
（3）求直线AB与渐近线所围成三角形的面积．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵双曲线的焦点在y轴，∴设双曲线的标准方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1；
∵实轴长为8，离心率e=

2

，∴a=4，c=4

2

，∴b²=c²-a²=16．
或∵实轴长为8，离心率e=

2

，
∴双曲线为等轴双曲线，a=b=4．
∴双曲线的标准方程为

y2

16

-

x2

16

=1．
（2）设弦AB所在直线方程为y-2=k（x-4），A，B的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴k=

y1-y2

x1-x2

，

x1+x2

2

=4，

y1+y2

2

=2；
∴

y12

16

-

x12

16

=1

y22

16

-

x22

16

=1

?

y12-y22

16

-

x12-x22

16

=0?

(y1-y2)(y1+y2)

16

-

(x1-x2)(x1+x2)

16

=0
代入x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，
得

(y1-y2)×4

16

-

(x1-x2)×8

16

=0，
∴

y1-y2

x1-x2

×

1

4

-

1

2

=0，
∴

1

4

k-

1

2

=0，
∴k=2；
所以弦AB所在直线方程为y-2=2（x-4），即2x-y-6=0．
（3）等轴双曲线

y2

16

-

x2

16

=1的渐近线方程为y=±x．
∴直线AB与渐近线所围成三角形为直角三角形．
又渐近线与弦AB所在直线的交点坐标分别为（6，6），（2，-2），
∴直角三角形两条直角边的长度分别为6

2

、2

2

；
∴直线AB与渐近线所围成三角形的面积S=

1

2

×6

2

×2

2

=12．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知双曲线的焦点在y轴，实轴长为8，离心率e=2，过双曲线的弦AB被..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的标准方程及图象”。

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