已知双曲线E：的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求-数学试题及答案

1、试题题目：已知双曲线E：的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-24 07:30:00

试题原文

已知双曲线E：

的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（Ⅲ）在平面上是否存在定点P，使得对圆C上任意的点G有

？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

试题来源：江苏省月考题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）由双曲线E：，得l：x=﹣4，C（﹣4，0），F（﹣6，0）．
又圆C过原点，所以圆C的方程为（x+4）²+y²=16．
（Ⅱ）由题意，设G（﹣5，y_G），代入（x+4）²+y²=16，得，
所以FG的斜率为，FG的方程为．
所以C（﹣4，0）到FG的距离为，
直线FG被圆C截得的弦长为
（Ⅲ）设P（s，t），G（x₀，y₀），则由，
得
整理得3（x₀²+y₀²）+（48+2s）x₀+2ty₀+144﹣s²﹣t²=0．①
又G（x₀，y₀）在圆C：（x+4）²+y²=16上，所以x₀²+y₀²+8x₀=0   ②
②代入①，得（2s+24）x₀+2ty₀+144﹣s²﹣t²=0．
又由G（x₀，y₀）为圆C上任意一点可知，
解得：s=﹣12，t=0．
所以在平面上存在一定点P，其坐标为（﹣12，0）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知双曲线E：的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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