定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log23且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求证f（x）为奇函数；（2）若f（k·3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log23且对任意x，y∈R都有f（x+y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-10 07:30:00

试题原文

定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log₂3且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证f（x）为奇函数；
（2）若f（k·3^x）+f（3^x﹣9^x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

试题来源：月考题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）证明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），
① 令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
令y=﹣x，代入①式，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），又f（0）=0，
则有 0=f（x）+f（﹣x）．即f（﹣x）=﹣f（x）
对任意x∈R成立，所以f（x）是奇函数．
（2）解：f（3）=log₂3＞0，即f（3）＞f（0），
又f（x）在R上是单调函数，所以f（x）在R上是增函数，
又由（1）f（x）是奇函数． f（k?3^x）＜﹣f（3^x﹣9^x﹣2）=f（﹣3^x+9^x+2），
k?3^x＜﹣3^x+9^x+2，
令t=3^x＞0，分离系数得：

，
问题等价于

，对任意t＞0恒成立．
∵

， ∴

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log23且对任意x，y∈R都有f（x+y..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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