已知函数，。（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）求证：当x>1时，f（x）>g（x）；（3）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），求证：f（x1）>f（2-x2）。-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数，。（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）求证：当x>1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

已知函数，。
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）求证：当x>1时，f（x）>g（x）；
（3）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），求证：f（x₁）>f（2-x₂）。

试题来源：模拟题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）∵

∴f'（x）=

令f'（x）=0，解得x=1

∴f（x）在（-∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数
∴当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=

。
（2）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=

，
则 F'（x）=

当x>1时，1-x＜0，2x>2
从而e²-e^2x＜0，
∴F'（x）>0，F（x）在（1，+∞）是增函数
∴F（x）>F（1）=

，
故当x>1时，f（x）>g（x）。
（3）∵f（x）在（-∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数，
∴当x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）时，x₁，x₂不可能在同一单调区间内
不妨设x₁＜1＜x₂，
由（2）的结论知x>1时，F（x）= f（x）-g（x）>0，
∴f（x₂）>g（x₂）
∵f（x₁）=f（x₂），
∴f（x₁）>g（x₂）
又g（x₂）= f（2-x₂），
∴f（x₁）>f（2-x₂）。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数，。（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）求证：当x>1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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