已知函数f(x)=a(x-1)2+1bx+c-b（a，b，c∈N），且f（2）=2，f（3）＜3，且f（x）的图象按向量e=(-1，0)平移后得到的图象关于原点对称．（1）求a、b、c的值；（2）设0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，求证不-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=a(x-1)2+1bx+c-b（a，b，c∈N），且f（2）=2，f（3）＜3，且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-27 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

a(x-1)2+1

bx+c-b

（a，b，c∈N），且f（2）=2，f（3）＜3，
且f（x）的图象按向量

e

=(-1，0)平移后得到的图象关于原点对称．
（1）求a、b、c的值；
（2）设0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，求证不等式|t+x|-|t-x|＜|f（tx+1）|；
（3）已知x＞0，n∈N^*，求证不等式[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）将f（x）的图象按向量

e

=(-1，0)平移后得到的解析式为f(x+1)=

ax2+1

bx+c

若g(x)=

ax2+1

bx+c

关于原点对称，则当x=0时有意义，必有g（0）=0…（2分）
而g（0）≠0，所以c=0，且b≠0
∵f(2)=

a+1

b+c

=2，∴f(2)=

a+1

b

=2?a=2b-1，
∵f(3)=

4a+1

2b+c

＜3，∴f(3)=

4a+1

2b

＜3?4a＜6b-1
∴8b-4＜6b-1?b＜

3

2

，
又b∈N，b≠0，所以b=1，a=1∴f(x)=

(x-1)2+1

x-1

…（4分）
（2）|f(tx+1)|=|

(tx)2+1

tx

|=|tx+

1

tx

|
∵tx与

1

tx

同号，所以|tx+

1

tx

|=|tx|+

1

|tx|

≥2…（6分）
而|t+x|-|t-x|≤|t+x-（t-x）|=2|x|＜2
∴|t+x|-|t-x|＜|f（tx+1）|…（8分）
（3）[f(x+1)]n-f(xn+1)=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)…（9分）
令g(x)=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)，（x＞0）
则g(x)=

C

1n

xn-1(

1

x

)1+

C

2n

xn-2(

1

x

)2+…+

C

n-1n

x1(

1

x

)n-1，…..①g(x)=

C

n-1n

x1(

1

x

)n-1+

C

n-2n

x2(

1

x

)n-2+…+

C

1n

xn-1(

1

x

)1…..②
①②相加得2g(x)=[

C

1n

xn-1(

1

x

)1+

C

n-1n

x1(

1

x

)n-1]+…+[

C

n-1n

x1(

1

x

)n-1+

C

1n

xn-1(

1

x

)1]
=

C

1n

[xn-1(

1

x

)1+x1(

1

x

)n-1]+…+

C

n-1n

[x1(

1

x

)n-1+xn-1(

1

x

)1]…（12分）
≥2（C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1）=2（2ⁿ-2）
∴g（x）≥2ⁿ-2，即[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2，当x=1时取等号…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=a(x-1)2+1bx+c-b（a，b，c∈N），且f（2）=2，f（3）＜3，且..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：