设a、b、c为△ABC的三边，求证：方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90°-数学试题及答案

1、试题题目：设a、b、c为△ABC的三边，求证：方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-21 07:30:00

试题原文

设a、b、c 为△ABC 的三边，求证：方程x²+2ax+b²=0 与x²+2cx-b²=0 有公共根的充要条件是A=90 °

试题来源：同步题试题题型：证明题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：充分条件与必要条件

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：
充分性：
∵A=90 °，∴a²=b²+c²，
于是方程x²+2ax+b²=0 可化为x²+2ax+a²-c²=0.
∴x²+2ax+(a+c)(a-c)=0，
∴[x+(a+c)][x+(a-c)]=0 ，
∴该方程有两个根x₁=-(a+c) ，x₂=-(a-c).
同理，另一方程x²+2cx-b²=0 可化为x²+2ex-(a²-e²)=0 ，
∴x²+2cx+(c+a)(c-a)=0 ，
∴[x+(c+a)][x+(c-a)]=0,
∴该方程有两个根x₃=-(a+c) ，x₄=-(c-a )．可以发现x₁=x₃ ，
∴这两个方程有公共根，
必要性：
设α是两方程的公共根，

由①+②得2α²+2α(a+c) =0.
∵α≠0
∴α=-(a+c)，
将α=-(a+c)代入①得a²=b²+c²．
∴A=90°．
综上可知，方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有公共根的充要条件是A=90°

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a、b、c为△ABC的三边，求证：方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公..”的主要目的是检查您对于考点“高中充分条件与必要条件”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中充分条件与必要条件”。

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