f(x)=-12x2+132在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]．-数学试题及答案

1、试题题目：f(x)=-12x2+132在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

f(x)=-

1

2

x2+

13

2

在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为f（x）对称轴为x=0
若0≤a＜b，则f（x）在[a，b]上单调递减，
所以f（a）=2b，f（b）=2a，
于是

2b=-

1

2

a2+

13

2

2a=-

1

2

b2+

13

2

，
解得[a，b]=[1，3]．
（2）若a＜b≤0，则f（x）在[a，b]上单调递增，
所以f（a）=2a，f（b）=2b，
于是

2a=-

1

2

a2+

13

2

2b=-

1

2

b2+

13

2

，方程两根异号，
故不存在满足a＜b≤0的a，b．
（3）若a＜0＜b，则f（x）在[a，0]上单调递增，在[0，b]上单调递减，
所以2b=

13

2

?b=

13

4

．
所以f(b)=-

1

2

?(

13

4

)2+

13

2

=

19

32

＞0，
又a＜0，所以2a≠

19

32

，
故f（x）在x=a处取得最小值2a，即2a=-

1

2

a2+

13

2

，得a=-2-

17

，
所以[a，b]=[-2-

17

，

13

4

]．
综上所述，[a，b]=[1，3]或[-2-

17

，

13

4

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“f(x)=-12x2+132在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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