已知复数z0=1-mi（m＞0），z=x+yi和w=x‘+y‘i，其中x，y，x‘，y‘均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有w=.z0?.z，|w|=2|z|．（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x‘和y‘用x、y-数学试题及答案

1、试题题目：已知复数z0=1-mi（m＞0），z=x+yi和w=x‘+y‘i，其中x，y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-07 07:30:00

试题原文

已知复数z₀=1-mi（m＞0），z=x+yi和w=x'+y'i，其中x，y，x'，y'均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有w=

.

z0

?

.

z

，|w|=2|z|．
（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式；
（Ⅱ）将（x、y）作为点P的坐标，（x'、y'）作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；
（Ⅲ）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．

试题来源：上海试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：两条直线的交点坐标

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题设，|w|=|

.

z0

?

.

z

|=|z0||z|=2|z|，∴|z₀|=2，
于是由1+m2=4，且m＞0，得m=

3

，…（3分）
因此由x′+y′i=

.

(1-

3i

)

?

.

(x+yi)

=x+

3y

+(

3x

-y)i，
得关系式

x′=x+

3y

y′=

3x

-y

…（5分）
（Ⅱ）设点P（x，y）在直线y=x+1上，则其经变换后的点Q（x'，y'）满足

x′=(1+

3

)x+

3

y′=(

3x

-1)x-1

，…（7分）
消去x，得y′=(2-

3

)x′-2

3

+2，
故点Q的轨迹方程为y=(2-

3

)x-2

3

+2…（10分）
（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，
∴所求直线可设为y=kx+b（k≠0），…（12分）
[解法一]∵该直线上的任一点P（x，y），其经变换后得到的点Q(x+

3

y，

3

x-y)仍在该直线上，
∴

3

x-y=k(x+

3

y)+b，
即-(

3

k+1)y=(k-

3

)x+b，
当b≠0时，方程组

-(

3

k+1)=1

k-

3

=k

无解，
故这样的直线不存在． …（16分）
当b=0时，由

-(

3

k+1)

1

=

k-

3

k

，
得

3

k2+2k-

3

=0，
解得k=

3

或k=-

3

，
故这样的直线存在，其方程为y=

3

x或y=-

3

x，…（18分）
[解法二]取直线上一点P(-

b

k

，0)，其经变换后的点Q(-

b

k

，-

3

b

k

)仍在该直线上，
∴-

3

b

k

=k(-

b

k

)+b，
得b=0，…（14分）
故所求直线为y=kx，取直线上一点P（0，k），其经变换后得到的点Q(1+

3

k，

3

-k)仍在该直线上．
∴

3

-k=k(1+

3

k)，…（16分）
即

3

k2+2k-

3

=0，得k=

3

或k=-

3

，
故这样的直线存在，其方程为y=

3

x或y=-

3

x，…（18分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知复数z0=1-mi（m＞0），z=x+yi和w=x‘+y‘i，其中x，y..”的主要目的是检查您对于考点“高中两条直线的交点坐标”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中两条直线的交点坐标”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：