在二项式定理这节教材中有这样一个性质：Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+…Cnn=2n，n∈N（1）计算1?C30+2?C31+3?C32+4?C33的值方法如下：设S=1?C30+2?C31+3?C32+4?C33又S=4?C33+3?C32+2?C31+1?C3-数学试题及答案

1、试题题目：在二项式定理这节教材中有这样一个性质：Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+…Cnn=2n..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

在二项式定理这节教材中有这样一个性质：C_n⁰+C_n¹+C_n²+C_n³+…C_nⁿ=2ⁿ，n∈N
（1）计算1?C₃⁰+2?C₃¹+3?C₃²+4?C₃³的值方法如下：
设S=1?C₃⁰+2?C₃¹+3?C₃²+4?C₃³又S=4?C₃³+3?C₃²+2?C₃¹+1?C₃⁰
相加得2S=5?C₃⁰+5?C₃¹+5?C₃²+5?C₃³即2S=5?2³
所以2S=5?2²=20利用类似方法求值：1?C₂⁰+2?C₂¹+3?C₂²，1?C₄⁰+2?C₄¹+3?C₄²+4?C₄³+5?C₄⁴
（2）将（1）的情况推广到一般的结论，并给予证明
（3）设S_n是首项为a₁，公比为q的等比数列{a_n}的前n项的和，求S₁C_n⁰+S₂C_n¹+S₃C_n²+S₄C_n³+…+S_n+1C_nⁿ，n∈N．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的前n项和

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设S=1?C₂⁰+2?C₂¹+3?C₂²又S=3?C₂²+2?C₂¹+1?C₂⁰
相加2S=4（C₂⁰+C₂¹+C₂²）=16，S=8
设S=1?C₄⁰+2?C₄¹+3?C₄²+4?C₄³+5?C₄⁴
又S=5?C₄⁴+4?C₄³+3?C₄²+2?C₄¹+1?C₄⁰
相加2S=6（C₃⁰+C₄¹+C₄²+C₄³+C₄⁴），∴S=3?2⁴=48
（2）1?C_n⁰+2?C_n¹+3?C_n²+…+（n+1）C_nⁿ=（n+2）?2^n-1
设S=1?C_n⁰+2?C_n¹+3?C_n²+…+（n+1）C_nⁿ
又S=（n+1）C_nⁿ+nC_n^n-1+…+1?C_n⁰
相加2S=（n+2）（C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ）∴S=

n+2

n

?2n=(n+2)?2n-1
（3）当q=1时 S_n=na₁S₁C_n⁰+S₂C_n¹+…+S_n+1C_nⁿ=a₁C_n⁰+2a₁C_n¹+…+（n+1）a₁C_nⁿ=a₁（1?C_n⁰+2?C_n¹+…+（n+1）C_nⁿ）
=a₁?（n+2）?2^n-1
当q≠1时 Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

a1

1-q

-

a1

1-q

qn
S₁C_n⁰+S₂C_n¹+S₃C_n²+…+S_n+1C_nⁿ=(

a1

1-q

-

a1

1-q

q)

C

0n

+(

a1

1-q

-

a1

1-q

q2)

C

1n

+…+(

a1

1-q

-

a1

1-q

qn+1)

C

nn

=

a1

1-q

(

C

0n

+

C

1n

+…+

C

nn

)-

a1

1-q

(q

C

0n

+q2

C

1n

+…+qn+1

C

nn

)
=

a1

1-q

?2n-

a1

1-q

?q(

C

0n

?q0+

C

1n

?q1+…+

C

nn

qn)
=

a1

1-q

?2n-

a1

1-q

?q(1+q)n=

a1?2n

1-q

-

a1q(1+q)n

1-q

综上，q=1时 S₁C_n⁰+…+S_n+1C_nⁿ=a₁（n+2）?2^n-1q≠1时S1

C

0n

+…+Sn+1

C

nn

=

a1?2n

1-q

-

a1q(1+q)n

1-q

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在二项式定理这节教材中有这样一个性质：Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+…Cnn=2n..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的前n项和”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的前n项和”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：