设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有（an-1）（an+3）=4Sn，其中Sn为数列{an}的前n项和．（Ⅰ）求证数列{an}是等差数列；（Ⅱ）若数列{4a2n-1}的前n项和为Tn，试证明不等式12-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有（an-1）（an+3）=4Sn..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N^*，都有（a_n-1）（a_n+3）=4S_n，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求证数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若数列{

4

a

2n

-1

}的前n项和为T_n，试证明不等式

1

2

≤Tn＜1成立．

试题来源：日照二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵（a_n-1）（a_n+3）=4S_n，当n≥2时，（a_n-1-1）（a_n-1+3）=4S_n-1，
两式相减，得

a

2n

-

a

2n-1

+2an-2an-1=4an，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，又a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2．
当n=1时，（a₁-1）（a₁+3）=4a₁，∴（a₁+1）（a₁-3）=0，又a₁＞0，∴a₁=3．
所以，数是以3为首项，2为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ），a₁=3，d=2，∴a_n=2n+1．
设bn=

4

an2-1

，n∈N^*；∵a_n=2n+1，∴an2-1=4n(n+1)))
∴bn=

4

4n(n+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1．
又∵Tn+1-Tn=

n+1

n+2

-

n

n+1

=

1

(n+2)(n+1)

＞0，∴Tn+1＞Tn＞Tn-1＞…＞T1=

1

2

，
综上所述：不等式

1

2

≤Tn＜1成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有（an-1）（an+3）=4Sn..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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