已知数列{an}中，a1=12、点(n、2an+1-an)在直线y=x上，其中n=1，2，3…．（Ⅰ）令bn=an-1-an-3，求证数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项；（Ⅲ）设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=12、点(n、2an+1-an)在直线y=x上，其中n=1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a1=

1

2

、点(n、2an+1-an)在直线y=x上，其中n=1，2，3…．
（Ⅰ）令b_n=a_n-1-a_n-3，求证数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅲ）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{

Sn+λTn

n

}为等差数列？若存在，试求出λ．若不存在，则说明理由．

试题来源：山东试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由已知得a1=

1

2

，2an+1=an+n，
∵a2=

3

4

，a2-a1-1=

3

4

-

1

2

-1=-

3

4

，
又b_n=a_n+1-a_n-1，b_n+1=a_n+2-a_n+1-1，
∴

bn+1

bn

=

an+1-an-1

an+2-an+1-1

=

an+1+(n+1)

2

-

an+n

2

an+1-an-1

=

an+1-an-1

2

an+1-an-1

=

1

2

.
∴{b_n}是以-

3

4

为首项，以

1

2

为公比的等比数列．
（II）由（I）知，bn=-

3

4

×(

1

2

)n-1=-

3

2

×

1

2n

，
∴an+1-an-1=-

3

2

×

1

2n

，
∴a2-a1-1=-

3

2

×

1

2

，a3-a2-1=-

3

2

×

1

22

，
…
∴an-an-1-1=-

3

2

×

1

2n-1

，
将以上各式相加得：
∴an-a1-(n-1)=-

3

2

(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)，
∴an=a1+n-1-

3

2

×

1

2

(1-

1

2n-1

)

1-

1

2

=

1

2

+(n-1)-

3

2

(1-

1

2n-1

)=

3

2n

+n-2.
∴an=

3

2n

+n-2.
（III）存在λ=2，使数列{

Sn+λTn

n

}是等差数列．
由（I）、（II）知，a_n+2b_n=n-2
∴Sn+2T=

n(n+1)

2

-2n

Sn+λTn

n

=

n(n+1)

2

-2n-2Tn+λTn

n

=

n-3

2

+

λ-2

n

Tn
又Tn=b1+b2++bn=

-

3

4

(1-

1

2n

)

1-

1

2

=-

3

2

(1-

1

2n

)=-

3

2

+

3

2n+1

Sn+λTn

n

=

n-3

2

+

λ-2

n

(-

3

2

+

3

2n+1

)
∴当且仅当λ=2时，数列{

Sn+λTn

n

}是等差数列．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=12、点(n、2an+1-an)在直线y=x上，其中n=1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：