已知数列{an}中a1=1，an+1=an2an+1（n∈N+）．（1）求证：数列{1an}为等差数列；（2）设bn=an?an+1（n∈N+），数列{bn}的前n项和为Sn，求满足Sn＞10052012的最小正整数n．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中a1=1，an+1=an2an+1（n∈N+）．（1）求证：数列{1an}为等..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中a₁=1，an+1=

an

2an+1

（n∈N⁺）．
（1）求证：数列{

1

an

}为等差数列；
（2）设b_n=a_n?a_n+1（n∈N⁺），数列{b_n}的前n项和为S_n，求满足Sn＞

1005

2012

的最小正整数n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：由a₁=1与an+1=

an

2an+1

得a_n≠0，

1

an+1

=

2an+1

an

=2+

1

an

，
所以对?n∈N⁺，

1

an+1

-

1

an

=2为常数，
故{

1

an

}为等差数列；
（2）由（1）得

1

an

=

1

a1

+2(n-1)=2n-1，
bn=an?an+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
所以Sn=b1+b2+…+bn=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

，
由Sn＞

1005

2012

即

n

2n+1

＞

1005

2012

，得n＞

1005

2

=502

1

2

，
所以满足Sn＞

1005

2012

的最小正整数n=503．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中a1=1，an+1=an2an+1（n∈N+）．（1）求证：数列{1an}为等..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：