已知圆O：x2+y2=1和抛物线y=x2-2上三个不同的点A、B、C．如果直线AB和AC都与圆O相切．求证：直线BC也与圆O相切．-数学试题及答案

1、试题题目：已知圆O：x2+y2=1和抛物线y=x2-2上三个不同的点A、B、C．如果直线A..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-18 07:30:00

试题原文

已知圆O：x²+y²=1和抛物线y=x²-2上三个不同的点A、B、C．如果直线AB和AC都与圆O相切．求证：直线BC也与圆O相切．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与圆的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：设A（a，a²-2），B（b，b²-2），C（c，c²-2），则 AB的方程为（a+b）x-y-ab-2=0，
BC的方程为（b+c）x-y-bc-2=0，AC的方程为（a+c）x-y-ac-2=0，
∵AB为圆的切线，有

|ab+2|

(a+b)2+1

=1，即（a²-1）b²+2ab+3-a²=0，同理（a²-1）c²+2ac+3-a²=0，
∵b、c为方程（a²-1）x²+2ax+3-a²=0的两根，则b+c=

2a

1-a2

，bc=

3-a2

a2-1

．
于是圆心到直线BC的距离d=

|bc+2|

(b+c)2+1

=

|

3-a2

a2-1

+2|

4a2

(1-a2)2

+1

=1，故BC也与圆O相切．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知圆O：x2+y2=1和抛物线y=x2-2上三个不同的点A、B、C．如果直线A..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与圆的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与圆的位置关系”。

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