如图所示，已知圆O：x2+y2=4，直线m：kx-y+1=0．（1）求证：直线m与圆O有两个相异交点；（2）设直线m与圆O的两个交点为A、B，求△AOB面积S的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：如图所示，已知圆O：x2+y2=4，直线m：kx-y+1=0．（1）求证：直线m与圆O..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-18 07:30:00

试题原文

如图所示，已知圆O：x²+y²=4，直线m：kx-y+1=0．
（1）求证：直线m与圆O有两个相异交点；
（2）设直线m与圆O的两个交点为A、B，求△AOB面积S的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与圆的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解析　（1）证明　直线m：kx-y+1=0可化为y-1=kx，
故该直线恒过点（0，1），而（0，1）在圆O：x²+y²=4内部，
所以直线m与圆O恒有两个不同交点．
（2）圆心O到直线m的距离为 d=

1

1+k2

，而圆O的半径r=2，
故弦AB的长为|AB|=2

r2-d2

=2

4-d2

，
故△AOB面积S=

1

2

|AB|×d=

1

2

×2

4-d2

×d=

4d2-d4

=

-(d2-2)2+4

．
而d²=

1

1+k2

，因为1+k²≥1，所以d²=

1

1+k2

∈（0，1]，
显然当d²∈（0，1]时，S单调递增，所以当d²=1，即k=0时，S取得最大值

3

，
此时直线m的方程为y-1=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图所示，已知圆O：x2+y2=4，直线m：kx-y+1=0．（1）求证：直线m与圆O..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与圆的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与圆的位置关系”。

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